Question

已知α為銳角，且tanα=

2

-1．若

m

=（4x，1），

n

=（cos²（α+

π

8

），tan2α），函數f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）若數列{a_n}的首項a₁=1，a_n+1=f（a_n），求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據向量的數量積公式即可求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）構造等比數列，利用等比數列的公式即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）

m

=（4x，1），

n

=（cos²（α+

π

8

），tan2α），函數f（x）=

m

•

n

．
則f（x）=4xcos²（α+

π

8

）+tan2α=2x[1+cos（2α+

π

4

）]+tan2α，
由tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=

2( 2 -1)

2( 2 -1)

=1，
∵α是銳角，∴2α=

π

4

，
即cos（2α+

π

4

）=0，
∴f（x）=2x+1．
（Ⅱ）∵a₁=1，a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=f（a_n）=2a_n+1，
即a_n+1+1=2（a_n+1），
則{a_n+1}是首項為a₁+1=1+1=2，公比q=2的等比數列，
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1．
數列{a_n}的前n項和S_n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n．

點評：本小題主要考查二倍角公式、降冪公式、向量的數量積、遞推數列、數列求和等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想，函數與方程思想．