考點：數列的求和
專題：等差數列與等比數列
分析：（1）根據條件M={1}，a
1=
，a
2=3
，求出數列數列的公比，即可求數列{a
n}的前n項和；
（2）根據條件M={3，4}，a
1=
，判定數列為等比數列，即可求數列{a
n}的通項公式．
解答：
解：（1）當n≥2時，因為M={1}，所以
=T
nT
1，可得a
n+1=a
na
1，故
=a
1=3（n≥2）．
又a
1=
，a
2=3
，則{a
n}是公比為3的等比數列，
故{a
n}的前n項和為
=
•3
n-
．
（2）當n＞k時，因為
=T
nT
k，所以
=T
n+1T
k，
所以
=
，即
=a
n+1，
因為M={3，4}，所以取k=3，當n＞3時，有a
n+4a
n-2=a
n+12；
取k=4，當n＞4時，有a
n+5a
n-3=a
n+12．
由a
n+5a
n-3=a
n+12 知，
數列a
2，a
6，a
10，a
14，a
18，a
22，…，a
4n-2，…，是等比數列，設公比為q．…①
由a
n+4a
n-2=a
n+1 知，
數列a
2，a
5，a
8，a
11，a
14，a
17，…，a
3n-1，…，是等比數列，設公比為q
1，…②
數列a
3，a
6，a
9，a
12，a
15，a
18，…，a
3n，…，成等比數列，設公比為q
2，…③
數列a
4，a
7，a
10，a
13，a
16，a
19，a
22，…，a
3n+1，…，成等比數列，設公比為q
3，…④
由①②得，
=q
3，且
=q
14，所以q
1=q
；
由①③得，
=q
3，且
=q
24，所以q
2=q
；
由①④得，
=q
3，且
=q
34，所以q
3=q
；
所以q
1=q
2=q
3=q
．
由①③得，a
6=a
2q，a
6=a
3q
2，所以
=
=q
，
由①④得，a
10=a
2q
2，a
10=a
4q
32，所以
=
=q，
所以a
2，a
3，a
4是公比為q
的等比數列，所以{a
n}（n≥2）是公比為q
的等比數列．
因為當n=4，k=3時，T
7T
1=T
42T
32；
當n=5，k=4時，T
9T
1=T
52T
42，
所以（q
）
7=2a
24，且（q
）
10=2a
26，所以q
=2，a
2=2
．
又a
1=
，所以{a
n}（n∈N*）是公比為q
的等比數列．
故數列{a
n}的通項公式是a
n=2
n-1•
．
點評：本題主要考查等比數列的性質，考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數學思想方法．綜合性較強，難度較大．
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