Question

如圖，圓O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在劣弧

BC

上，在CP的延長(zhǎng)線上取PQ=PB．
（Ⅰ）求證：CQ=AP；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P是劣弧

BC

的中點(diǎn)時(shí)，求S_△ABC與S_△BPQ的比值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：綜合題,立體幾何

分析：（Ⅰ）證明△ABP≌△CBQ，可得CQ=AP；
（Ⅱ）設(shè)AB=1，求出∠ABP=90°，∠APB=60°，可得BP，利用S_△ABC：S_△BPQ=AB²：BP²，可得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵A，B，C，P共圓，△ABC為等邊三角形，
∴∠QPB=∠BAC=60°，AB=BC…（1分）
∵PQ=PB，∴△QPB為等邊三角形，
∴∠Q=∠BPA=∠BCA=60°…（2分）
∴△ABP≌△CBQ…（3分）
∴CQ=AP；…（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)AB=1，
∵點(diǎn)P是劣弧

BC

的中點(diǎn)，AB=AC，
∴∠ABP=90°，∠APB=60°，…（6分）
∴BP=

3

3

，…（8分）
∴S_△ABC：S_△BPQ=AB²：BP²=3…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓，考查三角形全等的判斷與運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．