Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，F分別是AB，BC的中點，EF與BD交于點H．
（1）求證：△EDH∽△FBH；
（2）若BD=6，求DH的長．

Answer 1

分析 （1）先根據題意得出四邊形DCBE是平行四邊形，再由平行四邊形的性質得出FB∥DE，故可得出∠FBH=∠EDH，∠DEH=∠BFH，進而可得出結論；
（2）先有平行四邊形的性質得出BC∥DE，BC=DE，再由△EDH∽△FBH可得出結論．

解答 （1）證明：∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，是AB的中點，
∴DC=$\frac{1}{2}$AB=EB，DC∥BE，
∴四邊形DCBE是平行四邊形，
∴FB∥DE，
∴△EDH∽△FBH；

（2）解：由（1）知，BC∥DE，BC=DE，
∵FB=$\frac{1}{2}$BC，
∴FB=$\frac{1}{2}$DE．
∵△EDH∽△FBH，
∴$\frac{DE}{BF}$=$\frac{DH}{HB}$=2．
∵DH+HB=6，
∴DH=4．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質，三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．