Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，連接DA并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)E．
①△OBC與△ABD全等嗎？判斷并證明你的結(jié)論；
②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，則∠OBC=∠ABD，然后可根據(jù)“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，求得∠EAC=120°，進(jìn)而得出以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，最后根據(jù)Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，據(jù)此得到OC=1+2=3，即可得出點(diǎn)C的位置．

解答 解：（1）△OBC≌△ABD．
證明：∵△AOB，△CBD都是等邊三角形，
∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，
∴∠OBC=∠ABC，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=AB}\\{∠OBC=∠ABC}\\{CB=DB}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；

（2）∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC=∠BAD=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠AOE=180°-60°-60°=60°，
∴∠EAC=120°，∠OEA=30°，
∴以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，
∵在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，
∴AE=2，
∴AC=AE=2，
∴OC=1+2=3，
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．解決本題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．