Question

3．如圖，以長方形OABC的頂點O為原點，OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，連結(jié)BD，點A關(guān)于BD的對稱點恰好落在線段BC邊上的點F處．
（1）直接寫出點E，F(xiàn)的坐標；
（2）在線段CB上是否存在一點P，使△OEP為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標就可以求出．
（2）用平面坐標系中兩點間的距離公式即可得出線段，再分三種情況用邊相等建立方程求解即可得出結(jié)論．
（3）作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．

解答 解：（1）∵OC=2，四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC=2，
∵點E是AB的中點，
∴AE=1，
∵AO=3，
∴E（3，1），
根據(jù)折疊可得DA=DF，
∴DF=CO=2，
∴AD=2，
∴DO=3-2=1，
∴F（1，2），
（2）存在，
理由：
由（1）知，E（3，1），O（0，0）
設(shè)P（a，2）（0≤a≤3），
∴PE=$\sqrt{（a-3）^{2}+1}$，PO=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，EO=$\sqrt{10}$，
∵△OEP為等腰三角形，
∴①當PE=PO時，∴$\sqrt{（a-3）^{2}+1}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
∴a=1，
∴P（1，2）；
②當PE=EO時，∴$\sqrt{（a-3）^{2}+1}$=$\sqrt{10}$，
∴a=0或a=6（舍），
∴P（0，2），
③當PO=EO時，∴$\sqrt{{a}^{2}+4}$=$\sqrt{10}$，
∴a=$\sqrt{6}$或a=-$\sqrt{6}$（舍），
∴P（$\sqrt{6}$，2），
即：滿足條件的點P的坐標為（1，2）或（0，2）或（$\sqrt{6}$，2）．
（3）如圖2，

作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，
作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別
與x軸、y軸交于點M、N，連接FN、NM、ME，
此時四邊形MNFE的周長最小．
∴E′（3，-1），F(xiàn)′（-1，2），
設(shè)直線E′F′的解析式為y=kx+b，
有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-1}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，
解這個方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線E′F′的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$．
當y=0時，x=$\frac{5}{3}$，
∴M點的坐標為（$\frac{5}{3}$，0）．
當x=0時，y=$\frac{5}{4}$，
∴N點的坐標為（0，$\frac{5}{4}$）．
∵E與E′關(guān)于x軸對稱，F(xiàn)與F′關(guān)于y軸對稱，
∴NF=NF′，ME=ME′．F′B=4，E′B=3．
在Rt△BE′F′中，F(xiàn)'E'=$\sqrt{F'{B}^{2}+E'{B}^{2}}$=5．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=5．
在Rt△BEF中，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴FN+NM+ME+EF=F'E'+EF=5+$\sqrt{5}$，
即四邊形MNFE的周長最小值是5+$\sqrt{5}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據(jù)對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離的問題．