Question

12．如圖，當四邊形ABCD的內部有一個點P₁時，最多可以把四邊形ABCD剪成4個三角形，當四邊形ABCD內部有兩個點P₁，P₂時，最多可以把四邊形剪6個三角形；
（1）當四邊形ABCD的內部有3個點P₁、P₂、P₃時，最多可把它剪成8個三角形；
（2）當四邊形ABCD的內部有10個點P₁…P₁₀時，最多可把它剪成22個三角形；
當四邊形ABCD內部有n個點P₁…P_n時，最多可以把它剪成2（n+1）個三角形；
（3）最多可以把四邊形ABCD剪成2016個三角形嗎？若能，求出四邊形ABCD內部有多少個點？若不能，請說明理由；
（4）若設四邊形ABCD的內部分別有1個點時，最多可以把四邊形ABCD剪成S₁個三角形；有2個點時，最多可以把四邊形ABCD剪成S₂個三角形；…有100個點時，最多可以把四邊形ABCD剪成S₁₀₀個三角形；求S₁+S₂+…+S₁₀₀的值．

Answer 1

分析 根據四邊形中1個點時，最多分割成的三角形的個數是4，四邊形中2個點時，最多分割成的三角形的個數是4+2×1，四邊形中3個點時，最多分割成的三角形的個數是4+2×2，得出規律即可，
（1）根據規律即可得出結論；
（2）根據規律即可得出結論；
（3）假設可以，建立方程求解，最后判斷即可；
（4）先列出式子，再求和即可．

解答 解：∵四邊形中1個點時，最多分割成的三角形的個數是4，
四邊形中2個點時，最多分割成的三角形的個數是4+2×1，
四邊形中3個點時，最多分割成的三角形的個數是4+2×2，
四邊形中4個點時，最多分割成的三角形的個數是4+2×3，
…，
∴四邊形中n個點時，最多分割成的三角形的個數是4+2（n-1）=2n+2=2（n+1），
（1）當四邊形ABCD的內部有3個點時，n=3，
∴2（n+1）=2（3+1）=8，
故答案為8；
（2）當四邊形ABCD的內部有10個點時，n=10，
∴2（n+1）=2（10+1）=22，
故答案為22；
（3）最多可以把四邊形ABCD剪成2016個三角形，
假設最多可以把四邊形ABCD剪成2016個三角形，
∴2（n+1）=2016，
∴n=1007，
∴四邊形ABCD內部有1007個點；
（4）根據題意得，S₁=4，S₂=4+2×1，S₃=4+2×2，S₄=4+2×3，S₅=4+2×4，S₁₀₀=4+2×99，
∴S₁+S₂+…+S₁₀₀=4+（4+2×1）+（4+2×2）+（4+4×3）+…+（4+2×99）
=4×100+（2×1+2×2+2×3+2×4+…+2×99）
=400+2（1+2+3+4+…+99）
=400+2×$\frac{99×（1+99）}{2}$
=400+9900
=10300．

點評 此題是圖形的變化類問題，根據數據的變化規律，結合圖形，總結出每增加一個點，三角形的個數最多增加2的規律是解題的關鍵．