Question

8．2014年寧波市舉行“足球迷”杯足球比賽，共有奇數(shù)個(gè)足球隊(duì)參加，每個(gè)隊(duì)都同其他隊(duì)比賽一場(chǎng)，記分辦法為勝一場(chǎng)得1分、平一場(chǎng)得0.5分，負(fù)一場(chǎng)得0分．已知其中有兩隊(duì)共得10分，其他隊(duì)的平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的足球隊(duì)共有幾支？

Answer 1

分析 根據(jù)比賽場(chǎng)數(shù)乘以每場(chǎng)的得分，可得總得分，根據(jù)其他隊(duì)的得分與兩隊(duì)得分的和也是總得分，可得方程，根據(jù)隊(duì)數(shù)、得分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，可得答案．

解答 解：設(shè)參加此次比賽的足球隊(duì)共有x支（x為正奇數(shù)），則全部比賽場(chǎng)次為$\frac{1}{2}$x（x-1），
∵每場(chǎng)得一分，
∴共得$\frac{1}{2}$x（x-1）分，
設(shè)其他隊(duì)的平均分為y，（y為正整數(shù)），則總得分為10+y（x-2）
∴根據(jù)題意得，$\frac{1}{2}$x（x-1）=10+y（x-2），
∴y=$\frac{{x}^{2}-x-20}{2（x-2）}$=$\frac{{（x}^{2}-x-2）-18}{2（x-2）}$=$\frac{（x+1）（x-2）-18}{2（x-2）}$=$\frac{x+1}{2}$-$\frac{9}{x-2}$，
∵x為正奇數(shù)，
∴$\frac{x+1}{2}$為正整數(shù)，
∵y為正整數(shù)，
∴$\frac{9}{x-2}$是正整數(shù)，
∴（x-2）必須是9的因數(shù)，9的因數(shù)有1、3、9，
∴（x-2）可能為1、3、9，
∴x=3、5、11．
∵其中有兩隊(duì)共得10分，
∴$\frac{1}{2}$x（x-1）＞10，
∴x²-x-20＞0，
∴（x+4）（x-5）＞0，
∴x＞5或x＜-4（舍），
∴x=11，
所以參加此次比賽的足球隊(duì)共有11支．

點(diǎn)評(píng) 此題是應(yīng)用類(lèi)問(wèn)題，主要考查了列方程，整數(shù)解，解一元二次不等式，因數(shù)，倍數(shù)，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，用x表示y之后處理成$\frac{x+1}{2}$-$\frac{9}{x-2}$是解本題的難點(diǎn)．