Question

18．如圖1，點M放在正方形ABCD的對角線AC（不與點A重合）上滑動，連結DM，做MN⊥DM交直線AB于N．

（1）求證：DM=MN；
（2）若將（1）中的正方形變為矩形，其余條件不變（如圖2），且DC=2AD，求MD：MN；
（3）在（2）中，若CD=nAD，當M滑動到CA的延長線上時（如圖3），請你直接寫出MD：MN的比值．

Answer 1

分析 （1）過M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，則∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，根據ASA即可判定△MDP≌△MNQ，進而根據全等三角形的性質得出DM=MN；
（2）過M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，則∠WMS=90°，根據∠DMW=∠NMS，∠MSN=∠MWD=90°，判定△MDW∽MNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根據△AWM∽△ADC，DC=2AD，即可得出MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；
（3）過M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，則易得△NMX∽△DMR，得出MD：MN=MR：MX=AX：MX，再由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，得出AX：MX=CD：AD，最后根據CD=nAD，即可得出MD：MN=CD：AD=n．

解答 解：（1）證明：過M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，則∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠DMP=∠NMQ，
∵ABCD是正方形，
∴AC平分∠DAB，
∴PM=MQ，
在△MDP和△MNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MQN=∠MPD}\\{PM=MQ}\\{∠DMP=∠NMQ}\end{array}\right.$，
∴△MDP≌△MNQ（ASA），
∴DM=MN；

（2）過M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，則∠WMS=90°，
∵MN⊥DM，
∴∠DMW=∠NMS，
又∵∠MSN=∠MWD=90°，
∴△MDW∽MNS，
∴MD：MN=MW：MS=MW：WA，
∵MW∥CD，
∴∠AMW=∠ACD，∠AWM=∠ADC，
∴△AWM∽△ADC，
又∵DC=2AD，
∴MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；

（3）MD：MN=n，
理由：過M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，則易得△NMX∽△DMR，
∴MD：MN=MR：MX=AX：MX，
由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，
∴AX：MX=CD：AD，
又∵CD=nAD，
∴MD：MN=CD：AD=n．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及正方形、矩形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形或相似三角形，運用相似三角形和全等三角形的性質進行推導即可．