Question

【題目】二次函數的頂點M是直線和直線y＝x＋m的交點．

(1)若直線y＝x＋m過點D(0，－3)，求M點的坐標及二次函數的解析式；

(2)試證明無論m取任何值，二次函數的圖象與直線y＝x＋m總有兩個不同的交點；

(3)在(1)的條件下，若二次函數的圖象與y軸交于點C，與x的右交點為A，試在直線上求異于M的點P，使P在△CMA的外接圓上．

Answer 1

【答案】(1) M(2，－1)，；(2)證明見解析；(3)．

【解析】

（1）根據題意求出m，解方程組求出M點坐標，根據二次函數的性質求出p、q，得到二次函數的解析式；

（2）根據一元二次方程根的判別式進行判斷；

（3）根據二次函數的性質求出點C的坐標、點A的坐標，根據勾股定理求出CM，根據勾股定理的逆定理判斷△CMA是直角三角形，根據三角形的外接圓的性質計算．

(1)把D(0，－3)坐標代入直線中，

得，從而得直線，

由M為直線與直線的交點，

得，

解得，，

∴得M點坐標為M(2，－1)，

∵M為二次函數的頂點，

∴其對稱軸為，

由對稱軸公式：，

得，

∴；

由，

，

解得，．

∴二次函數的解析式為：；

(2)∵M是直線和的交點，

∴，

解得，，

∴M點坐標為，

∴，

解得，，

由，

得，

，

∴二次函數的圖象與直線總有兩個不同的交點；

(3)由(1)知，二次函數的解析式為：，

當時，y＝3．

∴點C的坐標為C(0，3)，

令y＝0，即，

解得，

∴點的坐標為A(3，0)，

由勾股定理，得．

∵點的坐標為M(2，－1)，

過點作x軸的垂線，垂足的坐標應為(2，0)，

由勾股定理得，，

過點作y軸的垂線，垂足的坐標應為(0，－1)，

由勾股定理，得．

∵，

∴△CMA是直角三角形，

CM為斜邊，．

直線與△CMA的外接圓的一個交點為M，另一個交點為P，

則．即△CPM為Rt△，

設P點的橫坐標為x，則P(，)．過點P作x軸垂線，

過點作y軸垂線，兩條垂線交于點E，則E(x，－1)．

過P作軸于點F，則F(0，)．

在中，

.

在中，

．

在中，，

得，

化簡整理得，

解得．

當時，y＝－1，即為M點的橫、縱坐標．

∴P點的橫坐標為，縱坐標為，

∴．