Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A，B，若點B的坐標為.

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；

(2)若是軸上一點，，將點Q繞著點P逆時針方向旋轉90得到點E.

①用含t的式子表示點的坐標；

②當點E恰好在該拋物線上時，求t的值.

Answer 1

【答案】(1) y＝﹣x2﹣2x+3，頂點坐標為（﹣1，4）；(2) ①E的坐標為（t，5+t）；②t＝﹣2

【解析】

（1）把點B的坐標代入二次函數解析式，求出b，利用配方法求出拋物線的頂點坐標；
（2）①作EH⊥y軸于H，證明△EPH≌△PQO，關鍵全等三角形的性質得到PH=OQ=5，EH=OP=t，得到點E的坐標；
②把點E的坐標代入二次函數解析式，計算得到答案．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點B，點B的坐標為（1，0）．

∴﹣12+b+3＝0，

解得，b＝﹣2，

拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，

y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，4）；

（2）①作EH⊥y軸于H，

由旋轉的性質可知，PE＝PQ，∠EPQ＝90°，

∴∠EPH+∠HPQ＝90°，

∵∠POQ＝90°，

∴∠OPQ+∠OQP＝90°，

∴∠EPH＝∠PQO，

在△EPH和△PQO中，

，

∴△EPH≌△PQO（AAS），

∴PH＝OQ＝5，EH＝OP＝t，

∴OH＝PH﹣OP＝5+t，

則點E的坐標為（t，5+t）；

②當點E恰好在該拋物線上時，﹣t2﹣2t+3＝5+t，

解得，t1＝﹣2，t2＝﹣1

∵t＜﹣1，

∴t＝﹣2．