Question

15．小聰與同桌小明在課下學習中遇到這樣一道數學題：“如圖（1），在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由”．小敏與小穎討論后，進行了如下解答：

（1）取特殊情況，探索討論：
當點E為AB的中點時，如圖（2），確定線段AE與DB的大小關系，請你寫出結論：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”），并說明理由．
（2）特例啟發，解答題目：
解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如圖（3），過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你將剩余的解答過程完成）
（3）拓展結論，設計新題：
在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，若△ABC的邊長為1，AE=2，則CD的長為3或1．（請你畫出圖形，并直接寫出結果）．

Answer 1

分析 （1）當E為中點時，過E作EF∥BC交AC于點F，則可證明△BDE≌△FEC，進而得到AE=DB；
（2）過E作EF∥BC交AC于點F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，進而得出AE=DB；
（3）分兩種情況：點E在AB上和在BA的延長線上，作輔助線，證明△BDE≌△FEC，得到BD=EF，求出EF的長度，即可解決問題．

解答 解：（1）AE=DB，
理由如下：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵點E為AB的中點，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∴∠EDC=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴DB=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB，
故答案為：=；

（2）如圖3，∵△ABC為等邊三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC，
在△EFC與△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}\\{∠EFC=∠DBE}\\{EC=DE}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB，
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF，AE=BD，
故答案為：=；

（3）如圖4，當點E在AB的延長線上時，過點E作EF∥BC，交AC的延長線于點F，
則∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF，∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE，
∵△ACB為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC，而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF，
在△BDE與△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}\\{∠EFC=∠DBE}\\{EC=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∵△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
如圖5，當點E在BA的延長線上時，過點E作EF∥BC，交CA的延長線于點F，
類似上述解法，同理可證：DB=EF=2，BC=1，
∴CD=2-1=1，
故答案為：3或1．

點評 本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性質和判定等知識；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用等邊三角形的性質、全等三角形的判定等幾何知識點來分析、判斷．