Question

20．（1）問題
如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．
填空：當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為a+b（用含a，b的式子表示）
（2）應用
點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長的最大值．
（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論；
（2）①根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據（1）中的結論即可得到結果；
（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到PN=PA=2，BN=AM，根據當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2$\sqrt{2}$+3；過P作PE⊥x軸于E，根據等腰直角三角形的性質，即可得到結論．

解答 解：（1）∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，
∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，
故答案為：CB的延長線上，a+b；

（2）①CD=BE，
理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD與△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD=BE；
②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值，
∴由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，
∴最大值為BD+BC=AB+BC=4；

（3）如圖1，連接BM，
∵將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∵A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，
∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，
最大值=AB+AN，
∵AN=$\sqrt{2}$AP=2$\sqrt{2}$，
∴最大值為2$\sqrt{2}$+3；
如圖2，過P作PE⊥x軸于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=$\sqrt{2}$，
∴OE=BO-AB-AE=5-3-$\sqrt{2}$=2-$\sqrt{2}$，
∴P（2-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質以及旋轉的性質的綜合應用．注意等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．