Question

7．如圖，△ABC內接于⊙O，直徑DE⊥AB于點F，交BC于點 M，DE的延長線與AC的延長線交于點N，連接AM． 
（1）求證：AM=BM；
（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由垂徑定理可求得AF=BF，可知DE為AB的垂直平分線，可得AM=BM；
（2）連接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的長可知AO，在Rt△AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由$tan∠ACM=\frac{AM}{CM}$，可求得CM，則可求得BC的長．

解答 （1）證明：
∵直徑DE⊥AB于點F，
∴AF=BF，
∴AM=BM；
（2）連接AO，BO，如圖，
由（1）可得 AM=BM，
∵AM⊥BM，
∴∠MAF=∠MBF=45°，
∴∠CMN=∠BMF=45°，
∵AO=BO，DE⊥AB，
∴∠AOF=∠BOF=$\frac{1}{2}∠AOB$，
∵∠N=15°，
∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，
∵∠ACB=$\frac{1}{2}∠AOB$．
∴∠AOF=∠ACB=60°．
∵DE=8，
∴AO=4．
在Rt△AOF中，由$sin∠AOB=\frac{AF}{AO}$，得AF=$2\sqrt{3}$，
在Rt△AMF中，AM=BM=$\sqrt{2}AF$=$2\sqrt{6}$．
在Rt△ACM中，由$tan∠ACM=\frac{AM}{CM}$，得CM=$2\sqrt{2}$，
∴BC=CM+BM=$2\sqrt{2}$+$2\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查圓周角定理、垂徑定理，在（2）中注意在不同的直角三角形中利用勾股定理是解題的關鍵．