Question

4．已知，點O在線段AB上，AB=6，OC為射線，且∠BOC=45°．動P以每秒1個單位長度的速度從點O出發，沿射線OC做勻速運動．設運動時間為t 秒．

（1）如圖1，若AO=2．
①當 t=6秒時，則OP=6，S_△ABP=9$\sqrt{2}$；
②當△ABP與△PBO相似時，求t的值；
（2）如圖2，若點O為線段AB的中點，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQ•BP的值．

Answer 1

分析 （1）①如圖1中，作PE⊥AB于E．求出PE的長，根據S_△APB=$\frac{1}{2}$•AB•PE，即可計算．
②如圖1中，過點B作OC的垂線，垂足為H，由△ABP∽△PBO，得$\frac{AB}{PB}$=$\frac{PB}{BO}$，即PB²=BO•BA=24，推出BP=$2\sqrt{6}$，再利用勾股定理求出OH、HP即可解決問題．
（2）如圖中，作OE∥AP，交BP于點E．由△QAO∽△OEP，得$\frac{AQ}{EO}=\frac{AO}{EP}$，即AQ•EP=EO•AO，由三角形中位線定理得OE=3，推出AQ•EP=9，由此即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1中，作PE⊥AB于E．

在Rt△OPE中，OP=6，∠POE=45°，
∴PE=OP•sin45°=3$\sqrt{2}$，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$•AB•PE=9$\sqrt{2}$，
故答案為6，9$\sqrt{2}$．

②如圖1中，過點B作OC的垂線，垂足為H，
∵△ABP∽△PBO，
∴$\frac{AB}{PB}$=$\frac{PB}{BO}$，
∴PB²=BO•BA=24，
∴BP=$2\sqrt{6}$，
在Rt△OHB中，∵∠BOH=45°，OB=4，
∴OH=HB=2$\sqrt{2}$，
在Rt△PHB中，PH=$\sqrt{P{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4
∴OP=$2\sqrt{2}$+4，
∴t=$2\sqrt{2}$+4（秒）時，△ABP∽△PBO．

（2）如圖中，作OE∥AP，交BP于點E．

∵AP=AB，
∴∠APB=∠B，
∴∠OEB=∠APB=∠B，
∵AQ∥BP，
∴∠QAB+∠B=180°．
又∵∠OEP+∠OEB=180°，
∴∠OEP=∠QAB，
又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，
∵∠B=∠QOP，
∴∠AOQ=∠OPE，
∴△QAO∽△OEP，
∴$\frac{AQ}{EO}=\frac{AO}{EP}$，即AQ•EP=EO•AO，
由三角形中位線定理得OE=3，
∴AQ•EP=9，
AQ•BP=AQ•2EP=2AQ•EP=18．

點評 本題考查相似三角形綜合題、三角形的面積、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．