Question

4．如圖，在△ABC與△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O為AB的中點．
（1）求證：∠B=∠ACD；
（2）已知點E在AB上，且BC²=AB•BE；
①證明：CD與以A為圓心、AE為半徑的⊙A相切；
②若tan∠ACD=$\frac{3}{4}$，BC=10，求CE的長，設①中的⊙A與DB交于點M，直接寫出DM=$\frac{81}{7}$．

Answer 1

分析 （1）根據∠ACB=∠DCO=90°，得到∠ACD=∠OCB，根據直角三角形的性質得到OC=OB，得到∠OCB=∠B，利用等量代換證明結論；
（2）①因為BC²=AB•BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，過點A作AF⊥CD于點F，易證∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE的平分線，所以AF=AE，所以直線CD與⊙A相切；
②根據正切的概念分別求出CE、BE、AC、AE，根據正弦的定義解答即可．

解答 （1）證明：∵∠ACB=∠DCO=90°，
∴∠ACB-∠ACO=∠DCO-∠ACO，
即∠ACD=∠OCB，
∵點O是AB的中點，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠ACD=∠B；
（2）①作AF⊥CD于點F，
∵BC²=AB•BE，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BE}{BC}$，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵∠CEB=90°，
∴∠B+∠ECB=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA平分∠DCE，
∵AF⊥CE，AE⊥CE，
∴AF=AE，
∴直線CD與⊙A相切；
②∵∠B=∠ACD，tan∠ACD=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠B=$\frac{3}{4}$，
∵BC=10，
∴CE=6，BE=8，AC=$\frac{15}{2}$，AB=$\frac{25}{2}$，
∴AE=$\frac{9}{2}$，OE=$\frac{7}{4}$，
∵O為AB的中點，
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{25}{4}$，
∴sin∠OCE=$\frac{OE}{OC}$=$\frac{7}{25}$，
∵∠D=∠OCE，
∴sin∠D=$\frac{7}{25}$，又AF=AE=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{\frac{9}{2}}{AD}$=$\frac{7}{25}$，
解得，AD=$\frac{225}{14}$，
∴DE=AD-AM=$\frac{81}{7}$，
故答案為：$\frac{81}{7}$．

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及等量代換，勾股定理，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數等知識，知識點較綜合，需要學生靈活運用所學知識解決問題．