Question

14．已知菱形A₁B₁C₁D₁的邊長為2，∠A₁B₁C₁=60°，對角線A₁C₁、B₁D₁相交于點O，以點O為坐標原點，分別以OB₁，OA₁所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標系，以B₁D₁為對角線作菱形B₁C₂D₁A₂∽菱形A₁B₁C₁D₁，再以A₂C₂為對角線作菱形A₂B₂C₂D₂∽菱形B₁C₂D₁A₂，再以B₂D₂為對角線作菱形B₂C₃D₂A₃∽菱形A₂B₂C₂D₂，…，按此規律繼續作下去，在y軸的正半軸上得到點A₁，A₂，A₃，…，A_n，則點A₂₀₁₇的坐標為（0，3²⁰¹⁶）．

Answer 1

分析 先根據菱形的性質求出A₁的坐標，根據勾股定理求出OB₁的長，再由銳角三角函數的定義求出OA₂的長，故可得出A₂的坐標，同理可得出A₃的坐標，找出規律即可得出結論．

解答 解：∵菱形A₁B₁C₁D₁的邊長為2，∠A₁B₁C₁=60°，
∴OA₁=A₁B₁•sin30°=2×，$\frac{1}{2}$=1，OB₁=A₁B₁•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴A₁（0，1）．
∵B₁C₂D₁A₂∽菱形A₁B₁C₁D₁，
∴OA₂=$\frac{O{B}_{1}}{tan30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3，
∴A₂（0，3）．
同理可得A₃（0，9）…
∴A₂₀₁₇（0，3²⁰¹⁶）．
故答案為：（0，3²⁰¹⁶）．

點評 本題考查的是相似多邊形的性質，熟知相似多邊形的對應角相等是解答此題的關鍵．