Question

15．已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑．
（3）在（2）的條件下，直接寫出tan∠CAB的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD欲證明DE是⊙O的切線，只要證明∠ODE=90°即可．
（2）連接CD，首先求出AD，由△ACD∽△ADE，得到$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{DA}$，即可求出AC解決問題．
（3）作OF⊥MN于F，則四邊形ODEF是矩形，根據tan∠CAB=$\frac{OF}{AF}$，求出AF即可解決問題．

解答 （1）證明：連接OD．
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∵∠OAD=∠DAE
∴∠ODA∠DAE．
∴DO∥MN，
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°
即OD⊥DE，
∵D在⊙O上
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接CD
∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{DA}$，
∴$\frac{3\sqrt{5}}{3}$=$\frac{AC}{3\sqrt{5}}$，
∴AC=15，
∴⊙O的半徑是7.5cm．

（3）解：作OF⊥MN于F，則四邊形ODEF是矩形，OF=AD=6，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{7．{5}^{2}-{6}^{2}}$=4.5，
∴tan∠CAB=$\frac{OF}{AF}$=$\frac{6}{4.5}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查圓綜合題、切線的判定、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活應用相似三角形性質解決問題，屬于中考常考題型．