Question

19．對于一個圓和一個正方形給出如下定義：若圓上存在到此正方形四條邊距離都相等的點，則稱這個圓是該正方形的“等距圓”．
如圖1，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點A的坐標為（2，4），頂點C、D在x軸上，且點C在點D的左側．

（1）當r=2$\sqrt{2}$時，在P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2），P₄（0，2-2$\sqrt{2}$）中可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是P₂（-2，4）或P₄（0，2-2$\sqrt{2}$）；
（2）若點P坐標為（-3，6），則當⊙P的半徑r=5時，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”．試判斷此時⊙P與直線AC的位置關系？并說明理由．
（3）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標系xOy中，正方形EFGH的頂點F的坐標為（6，2），頂點E、H在y軸上，且點H在點E的上方．
若⊙P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P的圓心P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據“等距圓”的定義，可知只要圓經過正方形的中心，即是正方形的“等距圓”，也就是說圓心與正方形中心的距離等于圓的半徑即可，從而可以判斷哪個點可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心，本題得以解決；
（2）根據題意可知，只要求出點P與正方形ABCD的中心的距離即可求得半徑r的長度，連接PE，可以得到直線PE的解析式，看點B是否在此直線上，由BE與直線AC的關心可以判斷PE與直線AC的關系，本題得以解決；
（3）根據題意，可以得到點P滿足的條件，列出形應的二元一次方程組，從而可以求得點P的坐標．

解答 解：（1）連接AC、BD相交于點M，如右圖1所示，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點M是正方形ABCD的中心，到四邊的距離相等，
∴⊙P一定過點M，
∵正方形ABCD的頂點A的坐標為（2，4），頂點C、D在x軸上，且點C在點D的左側．
∴點M（0，2），
設⊙P的圓心坐標是（x，y），
∴（x-0）²+（y-2）²=（2 $\sqrt{2}$）²，
將P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4 $\sqrt{2}$，2），P₄（0，2-2$\sqrt{2}$）分別代入上面的方程，只有P₂（-2，4）和P₄（0，2-2$\sqrt{2}$）成立，
故答案為：P₂（-2，4）或P₄（0，2-2$\sqrt{2}$）；

（2）由題意可得，
點M的坐標為（0，2），點P（-3，6），
∴r=$\sqrt{（-3-0）^{2}+（6-2）^{2}}$=5，
即當P點坐標為（-3，6），則當⊙P的半徑r是5時，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”；
故答案為5．
此時⊙P與直線AC的位置關系是相交，
理由：∵正方形ABCD的頂點A的坐標為（2，4），頂點C、D在x軸上，且點C在點D的左側，
∴點C（-2，0），
設過點A（2，4），點C（-2，0）的直線的解析式為y=kx+b，
則 $\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即直線AC的解析式為：y=x+2，
∴點P（-3，6）到直線AC的距離為：$\frac{|-3-6+2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{7\sqrt{2}}{2}$＜5，
∴此時⊙P與直線AC的位置關系是相交；

（3）設點P的坐標為（x，y），連接HF、EG交于點N，則點N為正方形EFGH的中心，如圖2所示，
∵點E（0，2），N（3，5），點C（-2，0），點B（-2，4），⊙P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-0）^{2}+（2-y）^{2}}=\sqrt{（3-x）^{2}+（5-y）^{2}}}\\{\sqrt{（x-0）^{2}+（2-y）^{2}}=x-（-2）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2\sqrt{5}}\\{y=-2\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5-2\sqrt{5}}\\{y=2\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
即⊙P的圓心P的坐標是（5+2 $\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$）或（5-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查圓的綜合題，解題的關鍵是明確題意，根據題目給出的條件，作出合適的輔助線，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答問題．