Question

5．觀察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，…；$\frac{1}{1×5}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×9}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$）…
（1）猜想并寫出：$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；
（2）猜想并寫出：$\frac{1}{9×13}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{9}-\frac{1}{13}$）；
（3）猜想并計算寫出：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$=$\frac{4}{5}$；
（4）根據猜想計算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{5×7}$+$\frac{1}{7×9}$+…+$\frac{1}{2009×2011}$+$\frac{1}{2011×2013}$．

Answer 1

分析 （1）、（2）觀察所給算式，找出其中的規律，然后依據規律進行變形即可；
（3）、（4）先依據規律進行拆項，然后利用加法的運算規律進行計算即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；
（2）$\frac{1}{9×13}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{9}-\frac{1}{13}$）；
（3）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+$$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$=1$-\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$；
（4）$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{7×9}$+…+$\frac{1}{2009×2011}$+$\frac{1}{2011×2013}$
=$\frac{1}{2}$（1$-\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2009}-\frac{1}{2011}）$+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2011}-\frac{1}{2013}）$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}$-…+$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2013}$）
=$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{2013}$）
=$\frac{1006}{2013}$．
故答案為：（1）$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；（2）$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{9}-\frac{1}{13}$）；（3）$\frac{4}{5}$．

點評 本題主要考查的是數字的變化規律，找出所給算式蘊含的規律從是解題的關鍵．