Question

10．已知關于x的方程mx²-（m+2）x+2=0．
（1）m為何值時，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）在（1）的條件下，無論m為何值，方程的都會存在一個相同的根a，求a的值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況①當m=0時，方程只有一個實數根，②當m≠0時，關于x的方程mx²-（m+2）x+2=0，有兩個不相等的實數根，即可得到結論；
（2）由已知條件得到a為方程mx²-（m+2）x+2=0的根，代入求得（a²-a）m+（2-2a）=0，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a=0}\\{2-2a=0}\end{array}\right.$，即可得到結論．

解答 解：（1）∵關于x的方程mx²-（m+2）x+2=0，
∴①當m=0時，方程只有一個實數根，
∴②當m≠0時，關于x的方程mx²-（m+2）x+2=0，有兩個不相等的實數根，
∴△＞0，即△=（m+2）²-4m•2=（m-2）²＞0，
∴m≠2，
∴綜上當m≠0且m≠2時，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）∵無論m為何值，方程的都會存在一個相同的根a，
∴a為方程mx²-（m+2）x+2=0的根，
則ma²-（m+2）a+2=0，
整理得：（a²-a）m+（2-2a）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a=0}\\{2-2a=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1．

點評 本題主要考查一元二次方程根的判別及根與系數的關系，掌握一元二次方程根的判別式與根的情況是解題的關鍵．