Question

17．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，以頂點A、B為圓心，2為半徑的兩弧交于點E，以頂點C、D為圓心，2為半徑的兩弧交于點F，則EF的長為2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 連接AE，BE，DF，CF，可證明三角形AEB是等邊三角形，利用等邊三角形的性質和勾股定理即可求出邊AB上的高線，同理可求出CD邊上的高線，進而求出EF的長．

解答 解：連接AE，BE，DF，CF．如圖所示：
∵以頂點A、B為圓心，2為半徑的兩弧交于點E，AB=2，
∴AB=AE=BE，
∴△AEB是等邊三角形，
∴AN=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴邊AB上的高線為EN=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
延長EF交AB于N，并反向延長EF交DC于M，
則EM=2-EN=2-$\sqrt{3}$，
∴NF=EM=2-$\sqrt{3}$，
∴EF=2-EM-NF=2$\sqrt{3}$-2．
故答案為：2$\sqrt{3}$-2．

點評 本題考查了正方形的性質和等邊三角形的判定和性質以及勾股定理的運用；通過添加輔助線構造等邊三角形是解決問題的關鍵．