Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的兩邊、分別在軸、軸的正半軸上，，.點從點出發，沿軸以每秒2個單位長的速度向點勻速運動，當點到達點時停止運動，設點運動的時間是秒．將線段的中點繞點按順時針方向旋轉得點，點隨點的運動而運動，連接、，過點作，交于點．

（1）求證：∽；

（2）請用含的代數式表示出點的坐標；

（3）求為何值時，的面積最大，最大為多少？

（4）在點從向運動的過程中，點與點所在的直線能否平分矩形的面積？若能，求的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）點坐標為；（3）當時，S最大；（4）能，．

【解析】

（1）根據余角的性質可得，進一步即可證得結論；

（2）由題意得，，然后根據相似三角形的性質可得DQ、PQ的長，進而可得結果；

（3）先用含t的代數式表示出的面積，再根據二次函數的性質求解即可；

（4）若點與點所在的直線平分矩形的面積，則直線AD必過點C，故只要根據待定系數法求出直線AD的解析式，再把點D的坐標代入即可求出相應的t的值．

（1）證明：∵四邊形是矩形，，

∴，，

∵，∴，

∴，

∴∽；

（2）解：由題意知：點從點出發，沿軸以每秒2個單位長的速度向點勻速運動，

∴，∴，

∵∽，，

∴，

∴，，

∴點坐標為；

（3）解：∵，，∴，

∴，

∴當時，S最大；

（4）解：能．當直線過點時，點與點所在的直線平分矩形的面積．

∵，，∴點，，

設直線的解析式為：，把A、C兩點代入，得：，解得：，

∴直線的解析式為：，

∵點在直線上，∴，解得：.