Question

【題目】一個大于1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做質數，否則稱為合數.其中，1和0既不是質數也不是合數.數學家歐幾里得在《幾何原本》中對此進行過詳細論述.一個較大自然數是質數還是合數通常用“N法”來判斷，主要分為三個步驟：第一步，找出大于N且最接近N的平方數;第二步，用小于的所有質數去除N;第三步，如果這些質數都不能整除N,那么N就是質數；如果這些質數中至少有一個能整除N，那么N就是合數.如判斷239是質數還是合數？第一步，;第二步，小于 16的質數有： 2、3、5、7、11、13,用2、3、5、7、11、13 依次去除239;第三步，發現沒有質數能整除239,所以239是質數.

分解質因數就是把一個合數分解成若干個質數的乘積的形式，通過分解質因數可以確定該合數的約數的個數.若…（a, b, c…是不相等的質數，m,n,p… 是正整數），則合數N共有…個約數.如, ,則8共有4 個約數；又如,則12共有6個約數.

請用以上方法解決下列問題：

（1）請用“ N法”判斷619是質數還是合數？

（2）求有18個約數的最小自然數.

Answer 1

【答案】(1)質數.理由見解析；（2）180.

【解析】

（1）先找出大于619且最接近619的平方數252;然后用小于25的所有質數去除619，看有沒有質數能整除619，再用“N法”來判斷619是質數還是合數;

（2）首先把18分成兩個數的乘積或3個數的乘積，用因數減1當所求自然數的質因數個數，從最小的質數2開始考慮，使2的個數最多，算出乘積比較得出答案．

解：（1），小于 25的質數有:2、3、5、7、11、13,17、19、23，用2、3、5、7、11、13、17、19、23 依次去除619，沒有質數能整除619,所以619是質數.

（2）∵18=18×1=9×2=6×3=3×3×2，
∴有18個約數的較小的自然數有：
①217，
②28×3，
③25×32=278，
④22×32×5=180；
從以上可以看出只有④的乘積最小；
所以有18個約數的最小自然數是180．
故答案為180．