Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F、G分別在AD，BC上，連接OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結論不成立的是

A.CD+DF=4B.CDDF=23

C.BC+AB=2+4D.BCAB=2

Answer 1

【答案】A

【解析】

設⊙O與BC的切點為M，如圖1，連接MO并延長MO交AD于點N，可證明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2，設AB=a，BC=b，AC=c，則根據切線長的性質，由圖2可知=1，即c=a+b-2，根據勾股定理可求得a=，或a=（舍去），因此可求出AB=，BC=，所以BC-AB=2，BC+AB=；如圖3，,設DF=x，則在Rt△ONF中，FN=3+-1-x，OF=x，ON=1+-1=，由勾股定理得x=4-，從而求得CD-DF=，CD+DF=5即可得出答案．

解：如圖，

設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，
∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，
∴OG=DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°，
∵∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC，
在△OMG和△GCD中，

∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
∵AB=CD，
∴BC-AB=2．
設AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，
⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r=（a+b-c），
∴c=a+b-2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b-2）2，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又∵BC-AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，

解得：（舍去），

再設DF=x，在Rt△ONF中，

由勾股定理可得

解得

綜上只有選項A錯誤，
故選：A．