Question

【題目】如圖，AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC。

（1）求證：BE⊥DE；

（2）H是直線CD上一動點（不與D重合），HI平分∠HBD交CD于點I。請你畫出圖形，并猜想∠EBI與∠BHD的數量關系，且說明理由。

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）當H在點D的左側時，∠BHD＝2∠EBI；當H在點D的右側時，∠BHD＝180°－2∠EBI；理由見解析

【解析】

(1)根據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到BE⊥DE；

(2)根據角平分線的定義可得∠ABD＝2∠EBD；∠HBD＝2∠DBI，然后分點H在點D的左邊和右邊兩種情況，表示出∠ABH和∠BHD，從而得解

（1）證明：過點E作EF∥AB

∴∠ABE＝∠BEF

又∵AB∥CD

∴∠ABD＋∠BDC＝180°，EF∥CD，

∴∠FED＝∠CDE

∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，

∴∠ABE＝∠ADB，∠CDE＝∠BDC，

∴∠ABE＋∠CDE＝×180°＝90°

∴∠BEF＋∠FED＝90°，即∠BED＝90°

∴BE⊥DE

（2）①當H在點D的左側時，∠BHD＝2∠EBI；

證明：∵AB∥CD

∴∠ABH＝∠BHD；

∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，

∴∠ABD＝2∠EBD；∠HBD＝2∠DBI；

∠ABH＝∠ABD－∠HBD＝2(∠EBD－∠DBI)＝2∠EBI；

∴∠BHD＝2∠EBI；

②當H在點D的右側時，∠BHD＝180°－2∠EBI；

證明：∵AB∥CD

∴∠BHD＝∠1；

又∵∠1＋∠ABH＝180°；

∴∠1＋∠ABD＋∠DBH＝180°，

∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，

∴∠ABD＝2∠EBD；∠HBD＝2∠DBI；

∴∠1＋2∠EBD＋2∠DBI＝180°，

∴∠1＝180°－2(∠EBD＋∠DBI) ＝180°－2∠EBI，

即∠BHD＝180°－2∠EBI。