Question

【題目】在平面直角坐標系中，點坐標為，點坐標為，過點作直線軸，垂足為，交線段于點.

（1）如圖1，過點作，垂足為，連接.

①填空：的面積為______；②點為直線上一動點，當時，求點的坐標；

（2）如圖2，點為線段延長線上一點，連接，，線段交于點，若，請直接寫出點的坐標為______.

Answer 1

【答案】（1）①6；②的坐標為，；（2）.

【解析】

（1）①易證四邊形AECO為矩形，則點B到AE的距離為OA，AE=OC=3，OA=CE=4，S△ABE=AEOA，即可得出結果；
②設點的坐標為，分兩種情況: 點在點上方，連接,得=++=8,點在點的下方，得=8,分別列出方程解方程即可得出結果；
（2）由S△AOF=S△QBF，則S△AOB=S△QOB，△AOB與△QOB是以AB為同底的三角形，高分別為：OA、QC，得出OA=CQ，即可得出結果．

解：（1）①∵CD⊥x軸，AE⊥CD，
∴AE∥x軸，四邊形AECO為矩形，點B到AE的距離為OA，
∵點A（0，4），點C（3，0），
∴AE=OC=3，OA=CE=4，
∴S△ABE=AEOA=×3×4=6，
故答案為：6；

②設點的坐標為.

（i）∵點坐標為，點坐標為，

∴.

∵，

∴.

∴點在點上方，連接（如圖1）.根據題意得

∵，

∴，

∴，

∴.

∴當點的坐標為.

（ii）點在點的下方，連接（如圖2）.

∵.

∴.

∴點在點的下方，根據題意得

∵，

∴，

∴，

∴.

∴當點的坐標為.

（2）（2）∵S△AOF=S△QBF，如圖3所示：

∴S△AOB=S△QOB，
∵△AOB與△QOB是以AB為同底的三角形，高分別為：OA、QC，
∴OA=CQ，
∴點Q的坐標為（3，4），
故答案為：（3，4）．