Question

11．已知關于x的方程（k²-1）x²+（2k+1）x+1=0．
（1）若方程有實數根，求k的取值范圍；
（2）若方程有兩個互為相反數的實數根，求k的值，并求此時方程的根．

Answer 1

分析 （1）分k²-1=0和k²-1≠0考慮，當k²-1=0時求出k值，將其代入原方程解之即可得出方程有解；當k²-1≠0時，根據方程的系數結合根的判別式即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．綜上即可得出結論；
（2）設方程的兩根為x₁、x₂，根據根的判別式結合x₁、x₂互為相反數即可得出關于k的分式方程，解之即可得出k的值，將k值代入原方程后解之即可得出結論．

解答 解：（1）①當k²-1=0時，k=±1，
當k=1時，原方程為3x+1=0，解得：x=-$\frac{1}{3}$；
當k=-1時，原方程為-x+1=0，解得：x=1；
②當k²-1≠0，即k≠±1時，△=（2k+1）²-4（k²-1）=4k+5≥0，
解得：k≥-$\frac{5}{4}$，
∴k≥-$\frac{5}{4}$且k≠±1．
綜上所述，k≥-$\frac{5}{4}$時，方程有實數根．
（2）設方程的兩根為x₁、x₂，
∵方程有兩個互為相反數的實數根，
∴x₁+x₂=-$\frac{2k+1}{{k}^{2}-1}$=0，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，
經檢驗可得出k=-$\frac{1}{2}$是分式方程-$\frac{2k+1}{{k}^{2}-1}$=0的解．
當k=-$\frac{1}{2}$時，原方程為-$\frac{3}{4}$x²+1=0，
解得：x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，x₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴當k=-$\frac{1}{2}$時，方程有兩個互為相反數的實數根，此時方程的根為x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，根據根的判別式以及根與系數的關系得出方程及不等式是解題的關鍵．