Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=mx 2 +2mx－4（m≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，△ABC的面積為12．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－2，1），點(diǎn)P在二次函數(shù)的圖象上，∠ADP為銳角，且tan∠ADP=2，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x-4；（2）點(diǎn)P橫坐標(biāo)為－2或

【解析】

（1）根據(jù)對稱軸坐標(biāo)公式可求二次函數(shù)圖象的對稱軸；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4，可求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4），根據(jù)三角形面積公式可求AB＝6．進(jìn)一步得到A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣4，0），（2，0）．待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式；

（2）作DF⊥x軸于點(diǎn)F．分兩種情況：（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的下方時(shí)；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的上方時(shí)，延長P1A至點(diǎn)G使得AG＝AP1，連接DG，作GH⊥x軸于點(diǎn)H，兩種情況討論可求點(diǎn)P1的坐標(biāo)；

（1）由題意可得：該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝﹣1；

∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4），

∵S△ABC＝AB|yC|＝12，

∴AB＝6．

又∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x＝﹣1對稱，

∴A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣4，0），（2，0）．

∴4m+4m﹣4＝0，解得m＝．

∴所求二次函數(shù)的解析式為y＝x2+x﹣4．

（2）如圖，作DF⊥x軸于點(diǎn)F．分兩種情況：

（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的下方時(shí)，如圖所示．

由（1）得點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)D（﹣2，1），

∴DF＝1，AF＝2．

在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，得tan∠ADF＝＝2．

延長DF與拋物線交于點(diǎn)P1，則P1點(diǎn)為所求．

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）．

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的上方時(shí)，延長P1A至點(diǎn)G使得AG＝AP1，連接DG，作GH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖所示．

可證△GHA≌△P1FA．

∴HA＝AF，GH＝P1F，GA＝P1A．

又∵A（﹣4，0），P1（﹣2，﹣4），

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（﹣6，4）．

在△ADP1中，

DA＝，DP1＝5，

AP1＝2，

∴DA2+AP12＝DP12

∴∠DAP1＝90°．

∴DA⊥GP1．

∴DG＝DP1．

∴∠ADG＝∠ADP1．

∴tan∠ADG＝tan∠ADP1＝2．

設(shè)DG與拋物線的交點(diǎn)為P2，則P2點(diǎn)為所求．

作DK⊥GH于點(diǎn)K，作P2S∥GK交DK于點(diǎn)S．

設(shè)P2點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x2+x﹣4），

則P2S＝x2+x﹣4﹣1＝x2+x﹣5，DS＝﹣2﹣x．

由＝，GK＝3，DK＝4，得＝．

整理，得2x2+7x﹣14＝0．

解得x＝．

∵P2點(diǎn)在第二象限，

∴P2點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝（舍正）．

綜上，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2或．