Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）交x軸于A，B兩點（A在B的左側），交y軸于點C，拋物線的頂點為P，過點B作BC的垂線交拋物線于點D．

（1）若點P的坐標為（－4，－1），點C的坐標為（0，3），求拋物線的表達式；

（2）在（1）的條件下，求點A到直線BD的距離；

（3）連接DC，若點P的坐標為（－，－），DC∥x軸，則在x軸上方的拋物線上是否存在點M，使∠AMB＝∠BDC？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x 2＋2x＋3；（2）點A到直線BD的距離為；（3）存在，M1（，4），M2（，4）

【解析】

（1）利用待定系數法將C（0，3）代入即可解決問題；

（2）先求出A、B、C三點坐標。繼而求出AB、BC線段長，再作AF⊥BD于F，可得∠ABF＝∠BCO，根據sin∠ABF＝sin∠BCO即可求解；

（3）作DH⊥x軸于H，設A（x1，0），B（x2，0），由△DBH∽△BCO可得＝ ，聯系根與系數關系可得c 2＝x1x2，c＝ ，繼而又待定系數法求出解析式為y＝ x 2＋ x＋2，可得ABC三點坐標，再由經過A，B，M三點的圓的圓心為Q，求出Q坐標，繼而又

QM=QA即可求解．

解：（1）設拋物線的解析式為y＝a( x＋4 )2－1，

把C（0，3）代入，得3＝a( 0＋4 )2－1，a＝ ，

∴拋物線的解析式為y＝ ( x＋4 )2－1，即y＝x 2＋2x＋3，

（2）令 x 2＋2x＋3＝0，解得x1＝－2，x2＝－6，

∴A（－6，0），B（－2，0），

∴OA＝6，OB＝2，AB＝4，

令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），

∴OC＝3，

∴BC＝＝＝，

作AF⊥BD于F，

∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABF＋∠CBO＝90°

∵∠BCO＋∠CBO＝90°，

∴∠ABF＝∠BCO

∴＝sin∠ABF＝sin∠BCO＝ ＝

∴AF＝ AB＝＝，即點A到直線BD的距離為．

（3）作DH⊥x軸于H

設A（x1，0），B（x2，0）

由拋物線的對稱性可知AH＝BO

∴BH＝OH－OB＝OH－AH＝OA＝－x1

∵DC∥x軸，∴DH＝CO＝c

∵DB⊥BC，∴△DBH∽△BCO

∴＝ ，∴＝ ，∴c 2＝x1x2

令ax 2＋bx＋c＝0，則x1x2＝，∴c 2＝ ，∴c＝

由P（－ ，－），可設拋物線的解析式為y＝a( x＋ )2－

令x＝0，得c＝ a－，

∴a－，

解得a＝－（舍去）或a＝

∴拋物線的解析式為y＝ ( x＋ )2－，即y＝ x 2＋ x＋2

易得A（－4，0），B（－1，0），C（0，2）

AB＝3，OB＝1，OC＝2

設經過A，B，M三點的圓的圓心為Q，連接QA，QB，QM

作QN⊥AB于N

則AN＝BN＝ ，QA＝QB＝QM，∠AQN＝∠AMB＝∠BDC

∵DC∥x軸，∴∠BDC＝∠ABD＝∠BCO

∴∠AQN＝∠BCO，

∴＝tan∠AQN＝tan∠BCO＝ ＝

∴QN＝2AN＝AB＝3，∴Q（－ ，3），QA 2＝

設M（m，y），其中y＝ m 2＋ m＋2

則QM 2＝( m＋ )2＋( y－3 )2

∴( m＋ )2＋( y－3 )2＝

m 2＋5m＋4＋y 2－6y＝0，2y＋y 2－6y＝0

y 2－4y＝0，解得y＝0（舍去）或y＝4

令 x 2＋ x＋2＝4，解得x＝

∴M1（，4），M2（，4）