Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．

(1)求證：△ABC∽△FCD；

(2)過點A作AM⊥BC于點M，求DE：AM的值；

(3)若S△FCD=5，BC=10，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）利用D是BC邊上的中點，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定定理，就可以證明題目結論；

（2）根據相似三角形的性質和等腰三角形的性質定理，解答即可；

（3）利用相似三角形的性質就可以求出三角形ABC的面積，然后利用面積公式求出AM的值，結合，即可求解．

（1）∵D是BC邊上的中點，DE⊥BC，

∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，

∵DE=DE，

∴△BDE≌△EDC（SAS），

∴∠B=∠DCE，

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACB，

∴△ABC∽△FCD；

（2）∵AD=AC，AM⊥DC，

∴DM=DC，

∵BD=DC，

∴，

∵DE⊥BC，AM⊥BC，

∴DE∥AM，

∴．

（3）過點A作AM⊥BC，垂足是M，

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，

∴，

∵S△FCD=5，

∴S△ABC=20，

又∵BC=10，

∴AM=4．

∵DE∥AM，

∴

∴，

∴DE=．