Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠BAC，交BC于點O．以O為圓心，OC為半徑作⊙O，分別交AO，BC于點E，F．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）延長AO交⊙O于點D，連接CD，若AD＝2AC，求tanD的值；

（3）在（2）的條件下，設⊙O的半徑為3，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tan∠D＝；（3）．

【解析】

（1）根據題意過點O作OM⊥AB，由角平分線到性質可得OC=OM，即可證AB是⊙O的切線；

（2）由題意證明△ACE∽△ADC，可得，以此進行分析即可得出結論．

（3）根據題意由相似三角形的性質可得，即可求AD=8，AC=4=AM，通過證明△OBM∽△ABC，可得，可得關于OB，BM的方程組，即可求BM的長，即可求AB和BC的長．

證明：（1）如圖，過點O作OM⊥AB，

∵AO平分∠BAC，OM⊥AB，∠ACB＝90°，

∴OC＝OM，

∴OM為⊙O半徑，且OM⊥AB，

∴AB是⊙O切線．

（2）解：∵DE是⊙O的直徑，

∴∠DCE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠DCE＝∠ACB，

∴∠DCO＝∠ACE，

∵OC＝OD，

∴∠D＝∠DCO，

∴∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A，

∴△ACE∽△ADC，

∴，

∵AD＝2AC，

∴tan∠D＝；

（3）∵△ACE∽△ADC，

∴，

∴AC2＝AD（AD﹣6），且2AC＝AD，

∴AD＝8，

∴AC＝4，

∵AO＝AO，OC＝OM，

∴Rt△AOM≌Rt△AOC（HL），

∴AM＝AC＝4，

∵∠B＝∠B，∠OMB＝∠ACB＝90°

∴△OBM∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

∴BM＝，

∴AB＝4+＝，

∴BC＝＝＝．