Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的極值；

（2）若， 是方程（）的兩個不同的實數根，求證： .

Answer 1

【答案】（1）有極小值，無極大值.（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）求出導函數，再求出的零點，確定零點兩側的正負，得極值；

（2）關鍵是參數的轉換，由是某方程的解，代入得，兩式相減可解得，這樣要證的不等式即為證，這樣可用換元法，設，且不妨役，于是有，只要證，此時又可轉化為求函數的最大值，求出的導數， ，為確定的正負及零點，可對函數求導，利用導數確定它的單調性，最終確定的單調性，從而得出結論．

試題解析：

（1）依題意，

故當時， ，當時，

故當時，函數有極小值，無極大值.

（2）因為， 是方程的兩個不同的實數根.

∴兩式相減得，解得

要證： ，即證： ，即證： ，

即證，

不妨設，令.只需證.

設，∴；

令，∴，∴在上單調遞減，

∴ ，∴，∴在為減函數，∴.

即在恒成立，∴原不等式成立，即.