Question

12．利用數學歸納法證明不等式$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＞$\frac{10}{13}$時，由k遞推到k+1時，不等式左邊應添加的式子是（　　）

• A． $\frac{1}{2k+1}$
• B． $\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$
• C． $\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{k}$
• D． $\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k}$

Answer 1

分析 只須求出當n=k時，左邊的代數式，當n=k+1時，左邊的代數式，相減可得結果．

解答 解：當n=k時，左邊的代數式為 $\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+…+\frac{1}{2k}$，
當n=k+1時，左邊的代數式為 $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+…+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}$，
故用n=k+1時左邊的代數式減去n=k時左邊的代數式的結果為：$\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}$，
故選：D．

點評 數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．