Question

17．某同學在一次研究性學習中發現，以下5個不等關系式子
 ①$\sqrt{3}$-1＞$2-\sqrt{2}$
②$2-\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}-\sqrt{3}$
③$\sqrt{5}-\sqrt{3}$＞$\sqrt{6}-2$
④$\sqrt{6}-2$＞$\sqrt{7}-\sqrt{5}$
⑤$\sqrt{7}-\sqrt{5}$＞$2\sqrt{2}-\sqrt{6}$
（1）上述五個式子有相同的不等關系，分析其結構特點，請你再寫出一個類似的不等式
（2）請寫出一個更一般的不等式，使以上不等式為它的特殊情況，并證明．

Answer 1

分析 （1）觀察分析得到結論；
（2）利用分析法證明即可．

解答 解：（1）$\sqrt{10}-2\sqrt{2}＞\sqrt{11}-3$
（2）$\sqrt{a+2}-\sqrt{a}＞\sqrt{a+3}-\sqrt{a+1}$
證明：要證原不等式，只需證$\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}＞\sqrt{a+3}+\sqrt{a}$
因為不等式兩邊都大于0
只需證$2a+3+2\sqrt{（a+2）（a+1）}＞2a+3+2\sqrt{a（a+3）}$
只需證$\sqrt{{a^2}+3a+2}＞\sqrt{{a^2}+3a}$
只需證a²+3a+2＞a²+3a
只需證2＞0
顯然成立
所以原不等式成立

點評 本題考查歸納推理，考查分析法的運用，屬于中檔題．