Question

2．已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=5，|$\overrightarrow{c}$|=7．
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ；
（2）是否存在實數λ，使λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$共線？
（3）是否存在實數μ，使μ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直？

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積，求出向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ；
（2）假設存在實數λ，使λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$共線，列方程求出λ的值；
（3）假設存在實數μ，使μ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直，列出方程求出μ的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，∴-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$；
又|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=5，|$\overrightarrow{c}$|=7，
∴49=9+2×3×5×cosθ+25；
解得cosθ=$\frac{1}{2}$；
又θ∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為θ=$\frac{π}{3}$；
（2）假設存在實數λ，使λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$共線，
即λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=x（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），x∈R；
∴λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{a}$-2x$\overrightarrow{b}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=x}\\{1=-2x}\end{array}\right.$，
解得λ=x=-$\frac{1}{2}$；
∴存在實數λ=-$\frac{1}{2}$，使λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$共線；
（3）假設存在實數μ，使μ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直，則
（μ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0，
∴μ${\overrightarrow{a}}^{2}$-2μ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
即9μ-2μ×3×5×$\frac{1}{2}$+3×5×$\frac{1}{2}$-2×25=0，
解得μ=-$\frac{85}{12}$；
∴存在μ=-$\frac{85}{12}$，使μ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直．

點評 本題考查了平面向量的數量積與運算問題，也考查了平行與垂直的應用問題，是綜合題．