Question

1．對于數列{a_n}，{b_n}，S_n為數列{a_n}是前n項和，且S_n+1-（n+1）=S_n+a_n+n，a₁+b₁=2，b_n+1=3b_n+2，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=$\frac{2（{a}_{n}+n）}{n（_{n}+1）}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n+1-（n+1）=S_n+a_n+n，可得：a_n+1-a_n=2n+1．利用累加求和方法可得：a_n．由a₁+b₁=2，可得b₁=1．由b_n+1=3b_n+2，n∈N^*．變形為：b_n+1+1=3（b_n+1）．利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可得：c_n=$\frac{2（{a}_{n}+n）}{n（_{n}+1）}$=$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$．利用錯位相減法即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1-（n+1）=S_n+a_n+n，
∴a_n+1-a_n=2n+1．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（2n-1）+（2n-3）+…+3+1
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
由a₁+b₁=2，∴b₁=1．
∵b_n+1=3b_n+2，n∈N^*．
∴b_n+1+1=3（b_n+1）．
∴數列{b_n+1}是等比數列，公比為3，首項為2．
∴b_n+1=2×3^n-1，解得b_n=2×3^n-1-1．．
（2）由（1）可得：c_n=$\frac{2（{a}_{n}+n）}{n（_{n}+1）}$=$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$．
∴T_n=2+$\frac{3}{3}+\frac{4}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{3}^{n}}$，
相減可得：$\frac{2}{3}{T}_{n}$=2+$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$=1+$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{15}{4}$-$\frac{2n+5}{4×{3}^{n-1}}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、錯位相減法、數列遞推關系、累加求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．