Question

【題目】已知點、、、（），都在函數（，）的圖像上；

（1）若數列是等差數列，求證：數列是等比數列；

（2）設，函數的反函數為，若函數與函數的圖像有公共點，求證：在直線上；

（3）設，（），過點、的直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，問：數列是否存在最大項？若存在，求出最大項的值，若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，.

【解析】

（1）結合指數函數性質，根據等比數列定義進行論證；

（2）先求反函數，再利用反證法證明結論；

（3）先根據點斜式得直線方程，再根據截距以及三角形面積公式求出，再利用數列單調性確定其最大值.

（1）設數列公差為

因為在函數上，所以

因此數列是等比數列；

（2）

假設不在直線上，所以

，即M不在上，與為函數與函數的圖像有公共點矛盾，所以在直線上；

（3）因為，，所以、

令得，令得，

所以為單調遞減數列，其最大項為