Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣t|+ （x＞0）；
（1）判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，t]上的單調(diào)性，并證明；
（2）若函數(shù)y=f（x）的最小值為與t無關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：0＜x≤t，f（x）=t﹣x+ ，

∴f′（x）=﹣1﹣ ＜0，

∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，t]上單調(diào)遞減；

（2）解：t≤0，f（x）=x+t+ ，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值，

t＞0時(shí)，x＞t，f（x）=x+ ﹣t，要使函數(shù)y=f（x）的最小值為與t無關(guān)的常數(shù)，則t≥ ，

∴0＜t≤1，最小值為1．

【解析】（1）當(dāng)0＜x≤t時(shí)，對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，得到單調(diào)遞減，（2）分類討論，要使函數(shù)y=f（x）的最小值為與t無關(guān)的常數(shù)，則t≥,可求得t的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能正確解答此題．