Question

【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．
（1）若不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點P（x，y）向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：將圓C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．

由題意知直線在兩坐標軸上的截距不為零，設直線方程為x+y﹣a=0，

由 = ，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．

∴直線方程為x+y+1=0，或x+y﹣3=0；

（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，

∴|PM|2=|PC|2﹣r2．

又∵|PM|=|PO|，

∴|PC|2﹣r2=|PO|2，

∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．

∴2x﹣4y+3=0即為所求

【解析】（1）把圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標和半徑，由直線l不過原點，得到該直線在坐標軸上的截距不為0，設出直線l的截距式方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于圓的半徑列出關于a的方程，求出方程的解可得到a的值，確定出直線l的方程；（2）由切線的性質，得到三角形PCM為直角三角形，利用勾股定理得到|PC|2=|PM|2+r2 ， 表示出|PM|2 ， 由|PM|=|PO|，進而得到|PO|2 ， 由設出的P的坐標和原點坐標，利用兩點間的距離公式表示出|PO|，可得出|PO|2 ， 兩者相等，化簡可得點P的軌跡方程．