Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣2x+c，且f（x）＞0的解集是 ．
（1）求f（2）的最小值及f（2）取最小值時f（x）的解析式；
（2）在f（2）取得最小值時，若對于任意的x＞2，f（x）+4≥m（x﹣2）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 ac=1c＞0

所以f（2）=4a﹣4+c≥2 ﹣4=0，

當且僅當4a=c即 時“=”成立，

由a= ，c=2得：f（x）= x2﹣2x+2

（2）解：由（1）可得f（x）= x2﹣2x+2= （x﹣2）2，

因為對于任意的x∈（2，+∞），f（x）+4≥m（x﹣2）恒成立，

∴m≤ （x﹣2）+ 在x∈（2，+∞），恒成立，

故[ （x﹣2）+ ]min≥m即可，

又函數y= （x﹣2）+ 在x∈（2，+∞）上遞增，

所以[ （x﹣2）+ ]min=2 ，

當且僅當x=2+2 時“=”成立，

∴m≤2 ；

【解析】（1）由f（x）＞0的解集是 { x | x ≠ }可得出該二次函數的開口向上故a＞1，與x軸有且只有一個交點故f（）=0，可得出f（x）的解析式，f（2）的值，（2）由（1）求出的解析式，由于對于任意的x∈（2，+∞），f（x）+4≥m（x﹣2）恒成立，進行參變分離，得到m≤ （x﹣2）+ 在x∈（2，+∞）恒成立，從而求出m的取值范圍.
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．