Question

【題目】橢圓中心是原點O，它的短軸長為 ，右焦點F（c，0）（c＞0），它的長軸長為2a（a＞c＞0），直線l： 與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程和離心率；
（2）若 ，求直線PQ的方程；
（3）設(shè) （λ＞1），過點P且平行于直線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，

設(shè)橢圓方程為 ．

由|OF|=2|FA|，得c=2（ ），整理得：3c2=2a2，∴e= ．

聯(lián)立 ，解得：a2=6，b2=2．

∴橢圓的方程為 ，離心率 ．

（2）解：由題意可知直線l的斜率顯然存在，設(shè)其斜率為k（k≠0），且A（3，0）．

則直線l的方程為y=k（x﹣3），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．

聯(lián)立 ，得：（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0．

由△=（﹣18k2）2﹣4（1+3k2）（27k2﹣6）=12（2﹣3k2）＞0，得： ．

， ．

由 ，得x1x2+y1y2=0．

即x1x2+（kx1﹣3k）（kx2﹣3k）=

= =0．

化簡得： ，∴k= ，滿足 ．

（3）解： ， ，

由已知得方程組 ，解得： ．

∵F（2，0），M（x1，﹣y1）．

故 =（λ（x2﹣3）+1，﹣y1）

= = ．

而 ．

∴ ．

【解析】（1）首先由條件|OF|=2|FA|列式，求出橢圓的離心率，然后結(jié)合短軸長2b= 及a2=b2+c2可求a2 ， 則橢圓方程可求；（2）寫出過點A的直線方程，設(shè)出直線與橢圓相交于P、Q兩點的坐標，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后求出P、Q兩點的橫坐標的和與積，由 ，得到P、Q兩點的坐標的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為橫坐標的關(guān)系后，把前面得到的和與積的表達式代入即可求出直線的斜率，則直線方程可求；（3）由向量的坐標表示寫出 ， ，再由 （λ＞1）及P，Q兩點的坐標都適合橢圓方程列式找出P，Q兩點的坐標與λ的關(guān)系，最后把要證的等式的兩邊的坐標都用λ和縱坐標表示即可得證．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．