Question

【題目】已知函數f（x）是一次函數，g（x）是反比例函數，且滿足f[f（x）]=x+2，g（1）=﹣1
（1）求函數f（x）和g（x）；
（2）設h（x）=f（x）+g（x），判斷函數h（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）是一次函數，g（x）是反比例函數

∴設f（x）=ax+b（a≠0），g（x）= （k≠0），

∵f[f（x）]=x+2，

∴a（ax+b）+b=x+2，

∴a2x+（a+1）b=x+2，

∴ ，解得：a=1，b=1，

故f（x）=x+1；

∵g（1）=﹣1，故k=﹣1，

故g（x）=﹣

（2）解：判斷：函數h（x）在（0，+∞）上是增函數，

由（1）知h（x）= +1，設x1，x2是（0，+∞）上的任意兩個實數，且x1＜x2，

h（x1）﹣h（x2）=（x1﹣ ）﹣（x2﹣ ）=（x1﹣x2）（1+ ），

∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，

∴h（x1）﹣h（x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），

∴函數h（x）在（0，+∞）遞增

【解析】（1）設出函數的解析式，通過待定系數法求出函數的解析式即可；（2）求出h（x）的解析式，根據函數單調性的定義判斷函數的單調性即可．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．