Question

【題目】如圖，在四面體中，平面平面， ， ， ．

（Ⅰ）若， ，求四面體的體積；

（Ⅱ）若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析:（1）先確定四面體的高: 設為的中點，則,再由面面垂直性質定理得，最后根據錐體體積公式求體積（2）先確定二面角平面角: 設為邊的中點，由(1)可得為二面角的平面角,再利用平移找線線角: 設分別為邊的中點，則根據三角形中位線性質可得，從而是異面直線與所成的角或其補角.最后通過解三角形可得異面直線與所成角的余弦值.

試題解析：（I）如圖，設為的中點，由于，所以.

故由平面，知，

即是四面體的面上的高，

且.

在中，因為，

由勾股定理易知

故四面體的體積

（II）解法一：如答圖，設分別為邊的中點，則，從而是異面直線與所成的角或其補角.

設為邊的中點，則，

由，知.又由（I）有，所以

又　故.

所以為二面角的平面角，由題設知

設

在，從而

因，故，從而，在中， ，

又從而在中，因，由余弦定理得

因此，異面直線與所成角的余弦值為

解法二：如下圖，過作，交于，已知，

，易知兩兩垂直，以為原點，射線分別為軸， 軸， 軸的正半軸，建立空間直角坐標系

不妨設，由， ，

易知點的坐標分別為,則

顯然向量是平面的法向量.

已知二面角為，

故可取平面的單位法向量，

使得，從而

設點的坐標為 由,取，有

易知與坐標系的建立方式不合，舍去.

因此點的坐標為

所以

從而

故異面直線與所成的角的余弦值為