Question

2．若函數f（x）=log₂（x²-2ax+1+a）在（-∞，1]上遞減，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． [1，2）
• B． （1，2）
• C． [1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由外函數對數函數是增函數，可得要使函數f（x）=log₂（x²-2ax+1+a）在（-∞，1]上遞減，需內函數二次函數的對稱軸大于等于1，且內函數在（-∞，1]上的最小值大于0，由此聯立不等式組求解．

解答 解：令g（x）=x²-2ax+1+a，其對稱軸方程為x=a，
外函數對數函數是增函數，
要使函數f（x）=log₂（x²-2ax+1+a）在（-∞，1]上遞減，
則$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{g（1）=1-2a+1+a＞0}\end{array}\right.$，即：1≤a＜2．
∴實數a的取值范圍是[1，2）．
故選：A．

點評 本題主要考查了復合函數的單調性以及單調區間的求法．對應復合函數的單調性，一要注意先確定函數的定義域，二要利用復合函數與內層函數和外層函數單調性之間的關系進行判斷，判斷的依據是“同增異減”，是中檔題．