Question

13．（1）用分析法證明：$\sqrt{6}-\sqrt{5}＞2\sqrt{2}-\sqrt{7}$
（2）已知函數f（x）對其定義域的任意兩個實數a，b．當a＜b時，都有f（a）＜f（b）．用反證法證明f（x）=0至多有一個實根．

Answer 1

分析 （1）先移項得$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，再兩邊平方，尋找使式子成立的充分條件即可；
（2）假設f（x）=0至少有2根，尋找與條件矛盾的式子即可．

解答 證明：（1）要證$\sqrt{6}-\sqrt{5}$＞2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$，
只需證$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
即證13+2$\sqrt{42}$＞13+4$\sqrt{10}$，
即證$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，
只需證42＞40，
顯然42＞40成立，
∴$\sqrt{6}-\sqrt{5}$＞2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$．
（2）假設f（x）=0至少有兩個根，
不妨設為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）=f（x₂）=0，
∵當a＜b時，都有f（a）＜f（b）．
∴f（x₁）＜f（x₂），矛盾，
∴假設不成立，
∴f（x）=0至多有一個實根．

點評 本題考查了分析法與反證法證明不等式，屬于基礎題．