Question

17．已知函數f（x）=$\frac{1}{{{x^2}-1}}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并用單調性的定義加以證明．

Answer 1

分析 （1）令分母不等于0解出x的范圍；
（2）在（1，+∞）上任取兩個數x₁＜x₂，化簡f（x₁）-f（x₂），判斷其符號，得出結論．

解答 解：（1）函數的定義域為{x|x≠±1}．
（2）在（1，+∞）上任取兩個數x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}-1}-\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$，
∵1＜x₁＜x₂∴x₂-x₁＞0，$（{x_1}^2-1）（{x_2}^2-1）＞0$，
∴$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數$f（x）=\frac{1}{{{x^2}-1}}$在（1，+∞）上是減函數．

點評 本題考查了利用定義判斷函數的單調性，屬于中檔題．