Question

12．設等差數列{a_n}滿足$\frac{{{{sin}^2}{a_4}{{cos}^2}{a_7}-{{sin}^2}{a_7}{{cos}^2}{a_4}}}{{sin（{a_5}+{a_6}）}}=1$，公差d∈（-1，0），當且僅當n=9時，數列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，求該數列首項a₁的取值范圍（　　）

• A． $（\frac{7π}{6}，\frac{4π}{3}）$
• B． [$\frac{7π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]
• C． （$\frac{4π}{3}$，$\frac{3π}{2}$）
• D． f（x）

Answer 1

分析 由已知條件推導出sin（a₄-a₇）=1，或sin（a₄+a₇）=0，由僅當n=9時，數列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，推導出8.5＜-$\frac{{a}_{1}-\fracfd5tvtz{2}}{2×\frac5pprjz5{2}}$＜9.5，由此能求出該數列首項a₁的取值范圍．

解答 解：∵等差數列{a_n}滿足$\frac{{{{sin}^2}{a_4}{{cos}^2}{a_7}-{{sin}^2}{a_7}{{cos}^2}{a_4}}}{{sin（{a_5}+{a_6}）}}=1$，
∴（sina₄cosa₇-sina₇cosa₄）（sina₄cosa₇+sina₇cosa₄）
=sin（a₅+a₆）=sin（a₄+a₇）=sina₄cosa₇+sina₇cosa₄，
∴sina₄cosa₇-sina₇cosa₄=1，或sina₄cosa₇+sina₇cosa₄=0
即sin（a₄-a₇）=1，或sin（a₄+a₇）=0（舍）
當sin（a₄-a₇）=1時，
∵a₄-a₇=-3d∈（0，3），a₄-a₇=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴-3d=2kπ+$\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{6}$-$\frac{2k}{3}$π．
∴d=-$\frac{π}{6}$
∵S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=$\fractprjtj7{2}$n²+（a₁-$\fracj5xpzxl{2}$）n，
且僅當n=9時，數列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，
∴8.5＜-$\frac{{a}_{1}-\fracvzbvptz{2}}{2×\frac7h55d77{2}}$＜9.5，
∴$\frac{4}{3}$π＜a₁＜$\frac{3π}{2}$
故選：C

點評 本題綜合考查了等差數列的通項公式及其性質、三角函數的平方關系和倍角公式、特殊角的三角函數等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．