Question

【題目】設橢圓 =1（a＞b＞0）的左焦點為F，離心率為 ，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為 ．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A，B分別為橢圓的左，右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若 =8，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據橢圓方程為 ．

∵過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為 ，

∴當x=﹣c時， ，得y=± ，

∴ = ，

∵離心率為 ，∴ = ，

解得b= ，c=1，a= ．

∴橢圓的方程為 ；

（2）解：直線CD：y=k（x+1），

設C（x1，y1），D（x2，y2），

由 消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，又A（﹣ ，0），B（ ，0），

∴

=（x1+ ，y1）（ ﹣x2．﹣y2）+（x2+ ，y2）（ ﹣x1．﹣y1），

=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，

=6+ =8，解得k= ．

【解析】（1）先根據橢圓方程的一般形式，令x=c代入求出弦長使其等于 ，再由離心率為 ，可求出a，b，c的關系，進而得到橢圓的方程．（2）直線CD：y=k（x+1），設C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），由 消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韋達定理進行求解．求得 ，利用 =8，即可求得k的值．
【考點精析】利用一般式方程和橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．