Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（2）求；

（3）設(shè),若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）設(shè)，將已知條件中的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得，從而證得其為等比數(shù)列，之后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，進(jìn)而求得；

（2）利用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和，求得；

（3）根據(jù)題意求得，將恒成立轉(zhuǎn)化為，利用作差比較法，求得，觀察得出，進(jìn)而求得的范圍.

（1）設(shè)，則只需證明為等比數(shù)列即可，

因?yàn)?/span>為常數(shù)，

所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且首項(xiàng)，

則，所以.

（2）由（1）知 ①

②

①-②得，

（3）由（2）得，，

要使得對(duì)恒成立，只需，

因?yàn)?/span>，

所以，當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)時(shí)，，即，所以，

所以.